问答题 设N1，N2是环R的两个理想，规定N1N2={有限和∑aibi|ai∈N1，bi∈N2}。证明：N1N2R，且N1N2⊆N1∩N2。

问答题 令R是一个有单位元的交换环，N是R的全体幂零元作成的集合。证明：NR且商环R/N不含非零幂零元。

问答题 设环R的元素有一个分类，包含元素x的类用[x]表示，而S是所有这些类作成的集合。证明：如果[x]+[y]=[x+y]及[x][y]=[xy]是S的两个代数运算，则[0]是环R的一个理想，且所给的每一个类恰好是关于理想[0]的一个倍集。